比翱工程实验室丨声学多孔材料拓扑优化的启发式和元启发式方法比较

在设计声学包时，通常用声学材料完全填充可用空间并不是吸音的最佳解决方案。通过创建气穴的空腔可以获得更好的解决方案，但确定最大化吸声的最佳形状和拓扑结构在计算上是一项具有挑战性的任务。最近声学中的许多拓扑优化应用使用启发式方法— —如SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）梯度算法 — — 以快速找到最优解。本篇研究了七种启发式和元启发式优化方法，包括应用于声学多孔材料拓扑优化以实现吸收最大化的SIMP。测试的方法是爬山算法（Hill Climbing）、构造性启发式、SIMP、遗传算法、禁忌搜索（Tabu Search）、协方差矩阵适应进化策略（CMA-ES）和差分进化算法（Differential Evolution）。所有算法都在七个不同材料特性、目标频率和尺寸的基准问题上进行了测试。实证结果表明，爬山法、构造性启发式法和CMA-ES的离散变量在不同问题实例的平均解质量方面优于其他算法。尽管基于梯度的SIMP算法在某些问题中收敛到局部最优，但它们的计算效率更高。其中一个普遍的教训是，不同的策略探索搜索空间的不同区域，产生独特的解决方案集。

 
此项研究成果“Comparison of heuristics and metaheuristics for topology optimisation in acoustic porous materials”已由英国诺丁汉大学计算机科学学院Vivek T. Ramamoorthy、Ender Özcan、Andrew J. Parkes，诺丁汉大学结构工程和信息学中心Abhilash Sreekumar，法国Matelys实验室Luc Jaouen、François-Xavier Bécot等人近期发表在美国声学学会期刊（JASA）上，The Journal of the Acoustical Society of America 150, 3164 (2021);https://doi.org/10.1121/10.0006784 

研究创新

团队目前工作目标是研究替代启发式优化方法的性能，包括一些针对一组基准问题的著名元启发式方法。在本项研究中，比较了爬山、构造性启发式、SIMP、遗传算法、禁忌搜索、CMAE和差分进化等方法。虽然SIMP及其变体使用梯度，但除目标函数外，其他方法均未使用问题的任何领域特定信息。优化测试显示了不同方法在不同CPU时间预算下的表现。值得注意的是，虽然SIMP算法在低CPU时间预算下产生了高质量的解决方案，但某些其他算法，如爬山算法，构造性启发式算法和CMA-ES在较高的计算预算下表现出色。本文报告的结果可作为开发声学多孔材料拓扑优化更好策略的有用前奏。

介绍

A. 背景从历史上看，工程中的形状设计是通过试错过程、直觉、对旧设计的增量改进、数字分析中的人工决策以及最近完全通过计算机分析得出的。计算机使用结构拓扑优化等技术已经实现了优于人类的工程设计。拓扑优化涉及寻找结构的最佳拓扑（孔数）和形状（大小、尺寸），以便最大化或最小化给定的性能指标。Bendsφe和Kikuchi ¹在80年代后期引入了同时优化形状和拓扑的概念。从那时起，已经取得了许多理论发展，并且研究群体一直在该领域积极工作。制定拓扑优化问题的方法之一是在离散结构的每个有限单元中寻找材料的最佳分配。原则上，这个公式是离散优化，找到精确的全局最优在计算上具有挑战性。确保找到全局最优的精确优化技术仍然非常昂贵。由于较大的搜索空间大小和昂贵的有限元评估，评估所有可能的解决方案变得不切实际。使用精确方法进行拓扑优化的一项值得注意的工作是Stolpe和Bendsφe ²在Zhou和Rozvany问题实例³上的工作。但值得一提的是，以前工作的重点主要是不精确或启发式优化方法。B. 启发式启发式是在合理的时间内找到足够接近全局最优解的技术。虽然启发式不能保证找到最优解，但它们是公认的并且通常是解决难题的唯一可行选择，例如NP（Non-deterministic Polynomial：非确定性多项式）完全问题（NP-complete）和难题问题（NP-hard）类。应用于拓扑优化问题的三种最流行的启发式方法是SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）^1,4-6、双向进化结构优化（BESO: Bi-directional EvolutionaryStructural Optimisation）^7-9和水平集方法^10-12。其中，SIMP是最常用和研究最充分的方法。在这种方法中，通过允许固体和空隙之间的中间材料，将离散问题放松到连续空间。基于惩罚的材料插值方案用于表示中间材料和基于梯度的优化策略，例如最优准则¹³或移动方法渐近线¹⁴用于在设计变量空间中移动以找到接近最优的设计。由于SIMP是一种基于导数的技术，因此需要进行敏感性分析。BESO是一种构造性方法，不要与进化算法相混淆，尽管它的名字是一种建设性方法，在应力较高的地方添加材料，在应力较低的地方删除材料，以达到设计目标。在水平集方法中，标量场与设计域区域相关联，并且该标量场的等值面成为拓扑的边界，然后优化该标量场以优化拓扑。C. 元启发式虽然启发式是寻找接近最优解的快速策略，但Glover ¹⁵意识到许多强大的启发式方法遵循某些更高级别的准则。这些准则可以被视为设计启发式算法的启发式方法，因此被称为元启发式（Metaheuristics）方法。元启发式的一个流行示例是遗传算法，其中的指导原则是启动一组解决方案，施加选择压力以挑选好的个体，重新组合所选个体，对其进行变异并将其替换到总体中。许多元启发式技术，如遗传算法和CMA-ES，也被研究用于结构拓扑优化问题^16,44。D. 声学拓扑优化结构拓扑优化的理论发展集中在顺应性最小化的经典问题^18,19。尽管如此，拓扑优化技术在其他问题领域的应用正在稳步上升^18,20,21。这些技术已经扩展到声学，产生了一个称为声学拓扑优化的子领域。 在撰写本文时，已经对各种声学应用进行了拓扑优化，包括喇叭、消声器、舱室和声屏障^22-36。这些应用程序中的大多数使用基于梯度的SIMP方法或其变体，而其中一小部分使用BESO或水平集方法。这些应用可分为声学流体- 结构相互作用问题和多孔材料问题。在声学流体- 结构相互作用问题中，材料选择是无孔固相和流体相，波传播使用混合公式建模^37,38。在声学流体 - 结构相互作用中，拓扑优化以外的问题，例如材料参数预估³⁹也发现了基于梯度的方法的应用，例如移动渐近线方法⁴⁰。在多孔材料拓扑优化问题中，材料选择还包括多孔弹性材料，以及通常使用专门的Biot（比翱）公式 ^41,42。在某些应用中 ^31,43，边界元方法用于优化边界拓扑而不是体拓扑。在本文中，多孔弹性材料拓扑优化是重点。具体而言，我们指的是在确定最佳中尺度形状和拓扑的背景下的拓扑优化，即材料厚度的数量级，而不是其微观结构的优化。尽管元启发式先前已在经典结构拓扑优化问题上进行过测试^16,44，但它们的使用在声学拓扑优化应用中受到限制^17,45。仅测试了少数优化方法，并且该问题领域独有的优化理论仍有待探索。目前的工作是朝这个方向迈出的一步。图文快览
图1：具有设计域的阻抗管系统的有限元模型，其中多孔弹性材料的形状和拓扑结构将被优化。 表1：基准问题实例 
表2：表I中基准问题所用材料的声学和弹性特性。表中列有材料特性BIOT（比翱）九大参数：孔隙率、体密度、流阻、粘性/热特征长度、曲折度、杨氏模量、泊松比、阻尼损耗因子。 
表3：测试的优化方法
图2：实例6的优化试验：（a）发现的最佳吸收与运行时间（试验平均）的进展。对于连续算法，最终解是离散化的。(b) 试验中最终吸收解决方案的分布。(c) 解决方案质量与体积分数的分布 (d) 来自选定算法的最终形状的吸声与频率的分布。(e) 来自前四种算法的不同试验的最佳形状及其吸收。图3：发现的最佳吸收进度与运行时间：问题实例1。 表4：这些算法是根据路径上优化形状的吸收的中值进行排序的。平均秩越小，算法的性能越好。算法根据问题实例的平均排名进行排序。此排名方案仅用于快速查找，并不意味着是性能的精确指标。如果考虑更多的问题实例和算法，排名可能会发生变化。
图4：从每个问题实例的所有算法中获得的优化形状。对于连续算法，形状通过舍入进行离散。各频率的平均吸收值以粗体字体打印在每个形状的顶部，括号中还有多孔材料体积分数（V_f）。白色和黑色分别代表空气和多孔，声音输入在左侧，刚性背衬在右侧。 总结此项研究工作中，考虑了在具有刚性背衬的阻抗管中，在垂直入射下最大化吸声的拓扑优化。在7个基准问题实例上，使用5种启发式和6种元启发式算法进行了优化测试。这些方法包括爬山法（HC）、构造性启发式（CH1和CH2）、SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）（SIMPf0和SIMPf2）、遗传算法（GA）、禁忌搜索（tabu）、协方差矩阵自适应进化策略（CMA和CMAd）和差分进化（DE和DEd）。与通常的结构拓扑优化问题不同，没有强加体积分数约束和可制造性过滤器。研究结果的要点如下： · 梯度算法（SIMPf0和SIMPf2）可以快速收敛到高质量的解决方案，但在某些问题中，它们要么过早收敛到局部最优，要么产生具有中间材料的形状，表明目标函数是具有许多局部最优的多模态。· 在比较解决方案质量时，没有一种算法在所有问题实例上都明显优于其他算法。根据中等解决方案质量对算法进行排序表明，爬山法表现最好，其次是材料添加构造性启发式（CH1），以及协方差矩阵自适应进化策略（CMAd）的离散变量。 · 使用随机分量（GA、CMA、CMAd、DE、DEd）的算法产生的最佳形状往往不规则且不连通，因此可能需要额外的过滤技术。虽然爬山法通常产生更高的吸声解决方案，但产生的最佳形状并不平滑和清晰。另一方面，CH1产生的高质量解决方案也比HC具有更少的不规则性。除此之外，CH1产生的形状的吸声值与SIMPf0产生的形状的吸声值相同或略好。此外，通过在达到所需体积分数后终止构造，CH1可以很容易地修改为包含体积分数约束。材料去除启发式（CH2）通常返回一个完全填充的设计域作为解决方案，其原因尚不清楚。· 在连续算法（CMA和DE）及其离散变体（CMAd和DEd）之间，离散变体似乎表现更好，这意味着在每个目标函数评估之前使用过滤技术比在算法结束时过滤解决方案效果更好。 总而言之，吸收最大化拓扑优化问题似乎有很多局部最优解，不同的策略探索搜索空间的不同区域，产生独特的解。获得的见解对于设计用于吸音材料通用优化的混合策略和元启发式方法可能很有价值。参考文献通过阅读原文查看此项研究成果。
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